lunes, 24 de octubre de 2011

Poliedrilandia



Los cinco poliedros regulares.



Del punto al tetraedro.
Un viaje a la tercera dimensión

Los cinco poliedros regulares clásicos los nombra el filósofo Platón en su diálogo Timeo  hacia el 350 a. C y son: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Los polígonos son figuras planas, los poliedros son formas tridimensionales; pero todas las formas comienzan con el punto.
Si realizamos un viaje imaginario desde un punto infinitesimal hasta la creación de un espacio tridimensional, podríamos hacer las siguientes etapas en el camino:


El punto. 

Primera etapa. El punto.
La unidad indivisible es el punto. El punto es la totalidad de la existencia. Podríamos concretarlo como un pequeño óvulo fecundado que puede multiplicarse y crear la vida.
El punto es como la semilla que da fruto, la simiente que en potencia contiene una planta; lo contiene todo en nada, pero no podemos verlo. Un punto se relaciona con el circulo como una semilla es a una planta adulta. El círculo es el punto desplegado y la semilla es un árbol desarrollado.





Un punto tiene cero dimensiones, es sólo una posición, un lugar en el espacio-tiempo. Pertenece a una dimensión más allá del mundo.
Es el contrapunto entre lo invisible y lo visible. Es la unidad principio de todo aquello que puede hacerse y multiplicarse.
El punto o centro es creador, porque al expandirse comienza a crearse el espacio. Su extensión como una radiación le hace transformarse en un circulo y su periferia es una circunferencia.



En simbología el círculo representa la unidad, un punto simboliza el todo; la singularidad que originó el universo, equiparada a un árbol que desarrollado tiene numerosas ramas.


  



Segunda etapa. La línea.
Una línea son dos puntos separados. La línea es el número dos, la díada, la dualidad o polaridad.
El punto se desdobla y se traslada a otro lugar, de esta forma se genera una línea recta. En biología diríamos que la célula se divide en dos partes por meiosis.
La línea recta tiene sólo una dimensión, largo.



La superficie o plano. 

Tercera etapa. La superficie o plano.
La superficie son tres puntos no alineados, la tríada.
Un plano tiene dos dimensiones, largo y ancho ( latitud y longitud ).
Se corresponde con un plano triangular como un triángulo equilátero.
Si los puntos se expanden como una onda en un estanque de agua donde hemos arrojado una piedra, aparecen en la intersección de las circunferencias un tercer punto, que crea un espacio plano, el triángulo equilátero.


 


El sólido. 

Cuarta etapa. El sólido.
El sólido son cuatro puntos, la tétrada.
El espacio tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto. Cualquier cuerpo sólido tiene tres coordenadas: anchura, longitud y profundidad.
El primer objeto con volumen que se puede construir es el tetraedro regular que tiene cuatro caras que son triángulos equiláteros, formado por cuatro puntos no alineados.


Un tetraedro visto desde arriba. 
Cuatro puntos. La tétrada.



Uno pero tres.

La síntesis de las etapas: Uno pero tres.
El espacio es uno pero al mismo tiempo tres, pues hay tres dimensiones: alto, largo y ancho. Iniciamos nuestro viaje con una unidad indivisible y hemos llegado a una multiplicidad donde experimentamos la tercera dimensión. Como hemos concretado la célula primordial que al dividirse genera la vida y se expande en tres dimensiones.
Podríamos añadir otra dimensión llamada tiempo.



Tetraedro y tetraktys. 

El tetraedro regular y la tetraktys
La tetraktys de los pitagóricos correspondía a la suma de cuatro cosas. La figura clásica de la tetraktys es un triángulo con diez puntos, a saber:



La primera fila corresponde al punto. Cero dimensiones.



La segunda fila corresponde a la recta. Una dimensión. Largo.

  



La tercera fila corresponde al plano. Dos dimensiones. Largo y ancho.

 

La cuarta fila corresponde al sólido. Tres dimensiones. Largo, ancho y alto.


La tetraktys es la organización del espacio. La base de lo plano y de lo sólido. La primera forma con tridimensión. La creación del Universo que es tridimensional. El origen del Cosmos.


           



La década, 10 

La década, 10.
La tetraktys está constituida por cuatro filas de 10 puntos.
Cada fila es una evolución de las dimensiones espaciales.
La suma de cada fila da la década, es el número diez: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 y a la inversa
10 = 4  + 3 + 2 + 1 o la vuelta a la unidad, se cierra el ciclo, 10 = 1 + 0
Diez, es el número de la plenitud. Aquello que es completo, perfecto, y su figura simbólica es la circunferencia.
Por lo tanto podemos inscribir el triángulo equilátero dentro de una circunferencia tomando el incentro como centro y los vértices del triángulo como radio.




El desarrollo de un tetraedro regular es semejante a la tetraktys pitagórica.

  

La tetraktys y la década se pueden intuir en el exagrama o sello de Salomón.



Otra conexión de la tetraktys utilizada en la historia es el símbolo de Dios Padre como un triángulo equilátero. 
El Cosmos es largo, alto y ancho. La tetraktys representa de forma esquemática el Universo tridimensional.


Uno pero tres. La trinidad.
Una sola cosa, el espacio; pero trino al mismo tiempo es decir : largo, alto y ancho. El principio Α y el fin   Ω de todo elUniversoconocido. El cristinianismo adopta este concepto para la Santísima Trinidad.


El "Ojo Divino". 
Los tres aspectos en que la divinidad se manifiesta.
Uno, dos, tres, y... vuelta al Uno


De la circunferencia 
a la esfera 

De la circunferencia a la esfera.
La circunferencia es el número diez, la plenitud; la variación tridimensional es la esfera.
Inscritos dentro de la circunferencia podemos dibujar todos los polígonos planos. La versión tridimensional del circulo es la esfera y dentro de ella también podemos inscribir todos los poliedros regulares tridimensionales.


El triángulo equilátero y la tetraktys y su modelo tridimensional tetraédrico pueden inscribirse en una circunferencia. La circunferencia es la perfección, el 10.

Tetraedro regular 

Tetraedro.
Las construcciones por geometría.



Tetraedro regular su desarrollo son 3 triángulos equiláteros.


Pasamos a las construcciones geométricas del tetraedro si es conocida la arista.
En este caso hay que calcular su altura interna, por medio de un abatimiento del plano interior del tetraedro.
Los dibujos siguientes explican el proceso.

Construcción del tetraedro sobre una de sus caras, visión tridimensional.


 


Construcción del tetraedro sobre una de sus caras. 
Visión en el sistema diédrico, planta y alzado.



La construcción del tetraedro sobre la arista. 
Visión en tres dimensiones.

 


La construcción del tetraedro sobre la arista. 
Visión en el sistema diédrico.



El hexaedro o cubo. 

El hexaedro regular o cubo.


Hexaedro regular su desarrollo son 6 cuadrados.




A partir del tetraedro y la tetraktys es posible observar que aparece un hexaedro en su interior en la posición de equilibrio sobre uno de sus vértices, veamos:


Hexaedro en equilibrio sobre un vértice, o con la diagonal mayor perpendicular al plano horizontal.
Visión tridimensional







 

Los elementos fundamentales del hexaedro. 
Diagonal principal D. 
Diagonal menor d. 
Arista , a







Hexaedro en equilibrio sobre una arista.
Vista en perspectiva caballera.



 



Hexaedro con una diagonal principal D perpendicular al plano horizontal.



Vistas en el sistema diédrico ortogonal.


Hexaedro con una diagonal principal D perpendicular al plano horizontal.
Vistas en el sistema diédrico ortogonal.








Octaedro regular 

El octaedro regular desarrollo.









Octaedro con una cara sobre el plano horizontal.








Octaedro regular
Octaedro con una cara sobre el plano horizontal.








Dodecaedro regular 

Dodecaedro regular desarrollo



Desarrollo del dodecaedro regular




Dodecaedro con una cara sobre el plano horizontal.
Vista en perspectiva caballera para comprender como se obtienen la altura mayor H y la altura menor h.

  



El punto P es muy importante al ser el vértice común a dos caras y permite realizar la circunferencia (esfera) que circunscribe al dodecaedro. El siguiente dibujo explica su comprensión en la tercera dimensión.



Dibujo del dodecaedro en el sistema diédrico ortogonal.




Icosaedro regular.

Icosaedro regular desarrollo.




Icosaedro con un vértice sobre el plano horizontal.
Vista tridimensional para entender como se obtienen la altura mayor H y la altura menor h.